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LA FISICA DE LOS CUASICRISTALES

David Romeu Casajuana

 

 INTRODUCCION

 

En 1984 investigadores del National Bureau of Standards en los Estados Unidos descubrieron un nuevo tipo de material que parecía violar uno de los mas sagrados principios de la cristalografía (la rama de la física que describe la estructura atómica de los materiales).  Resultaba ser que el nuevo material parecía poseer el mismo tipo de orden que se encuentra en los cristales convencionales pero contenía elementos de simetría considerados imposibles en un sólido macroscópico. 

 

Como ocurre cada vez que se hace un hallazgo que viola las leyes establecidas de la física, este fue un momento de gran excitación entre la comunidad científica pues es normalmente el preludio de un salto en nuestro nivel de comprensión del universo y  sus leyes.  Así fue que una gran cantidad de investigadores de todas las disciplinas, desde los más aplicados químicos e ingenieros en metalurgia hasta expertos en astrofísica y los matemáticos más abstractos, se lanzaron a tratar de explicar el problema de la existencia de estos materiales.   Aunque su estructura en detalle y algunas de sus propiedades son aún sujeto de controversia, con el tiempo se hizo evidente que este nuevo estado estructural de la materia que había escapado detección hasta casi el final del siglo XX constituía un estado de orden intermedio entre aquel hallado en los materiales con máximo nivel de orden,  los cristales y aquellos totalmente desordenados o  amorfos.  Dado que este tipo de orden intermedio resultó ser cuasiperiódico, los nuevos materiales fueron denominados cuasicristales. 

 

A pesar de que sus propiedades están aún bajo estudio, los cuasicristales han cobrado ya una gran importancia en nuestra vida de una manera indirecta, pues su estudio ha contribuido a ampliar nuestra comprensión de las leyes que controlan el crecimiento y la estructura de la materia en su estado sólido.

 

En este artículo se expone un modelo enteramente físico debido al autor que explica el fenómeno de los cuasicristales a partir de leyes fundamentales, siendo el único capaz de describir las posiciones atómicas de todas los sistemas cuasicristalinos conocidos y de predecir la existencia de otras estructuras aún no descubiertas.

 


 

ORDEN Y SIMETRIA

 

Toda la materia se compone de átomos y moléculas, las propiedades de ésta en su estado sólido dependen de la disposición de los últimos en el sólido.   En los cristales, los átomos o moléculas se hallan arreglados en patrones repetidos periódicamente formando una especie de tapiz tridimensional, como se ejemplifica en la figuras que muestran una pequeña porción de dos materiales cristalinos hipotéticos con diferentes elementos de simetría.   En contraste, en los materiales no cristalinos o amorfos las posiciones de los átomos o moléculas no guardan un patrón definido entre sí excepto a muy cortas distancias donde las fuerzas de atracción y repulsión entre átomos les impiden estar demasiado cerca o demasiado lejos unos de otros.  La figura 2 muestra un ejemplo de material amorfo, note la disposición desordenada de los átomos y la carencia de patrones repetitivos que se observan en la figura 1. 

 

Una red cristalina se construye de unidades fundamentales o celdas unitarias colocadas una junto a otra en forma regular y periódica que llenan el espacio sin dejar huecos.  En la figura las celdas unitarias se muestran  a la derecha de los cristales correspondientes.   En un cristal sin defectos, cada una de estas celdas contiene exactamente la misma distribución de átomos.

 

Todos los cristales poseen ciertos elementos de simetría, que no son más que aquellos movimientos o transformaciones que cuando se aplican a los átomos o moléculas de un cristal, lo dejan invariante, es decir, con la misma apariencia que tenía antes de la transformación.  El elemento de simetría más simple y más importante que poseen los cristales,  es el de traslación.  De la figura 1 podemos ver que un cristal no se altera en apariencia (asumiéndolo infinito) si se traslada en las direcciones de cualquiera de las aristas de la celda unitaria.  En consecuencia, escogiendo tres de estas aristas como los vectores base de la red (extrema derecha de la figura 1), resulta que un cristal es invariante bajo traslaciones por vectores de la red que son vectores construidos sumando arbitrariamente los vectores base.  Esto da origen a la aparición de orden traslacional a largo alcance, pues las posiciones de todos los puntos de la red pueden accesarse mediante traslaciones por los vectores base.  Además de ser responsable del orden traslacional, esta simetría está ligada a la manera en que crecen los cristales, de hecho, la forma más sencilla de construir un cristal es partir de una celda unitaria e ir yuxtaponiendo nuevas celdas desplazadas en dirección de sus aristas hasta formar un tapiz tridimensional como en la figura 1.  Además del orden traslacional, los cristales poseen orden orientacional a grandes distancias.  Esto significa que las celdas unidad a lo largo y ancho del cristal están orientadas en la misma dirección, es decir, que no presentan rotaciones relativas entre sí.

 

Los ejes de rotación constituyen otro elemento de simetría presente en los cristales, se dice que un cristal posee un eje de rotación de grado n cuando permanece invariante después de girar 360/n grados alrededor de algún eje determinado.  Por ejemplo, cuando un triángulo equilátero (figura 3) se rota por un ángulo de 360/3 = 120 grados alrededor de su centro, el triángulo se ve igual que antes de aplicar la rotación.  Se dice entonces que el triángulo posee simetría de rotación ternaria o simplemente simetría de rotación 3 (1/3 de círculo).  La figura 3 muestra varios ejemplos de polígonos con diferentes grados de simetría.

 

La condición de que los cristales se construyen por una yuxtaposición hasta el infinito de una celda unitaria única que debe cubrir totalmente el espacio sin dejar huecos, (condición de periodicidad), genera restricciones sobre la forma que pueden tener las celdas unitarias.  En general, estas son poliedros que poseen ejes de rotación con simetría binaria (orden 2), ternaria (orden 3), cuaternaria (orden 4) y senaria (orden 6), ilustrados en dos dimensiones en la figura 3, quedando excluidas todas las demás simetrías de rotación.  En particular, los poliedros con ejes de rotación quinarios o de orden 5 (360/5 = 72 grados) correspondientes a la simetría del pentágono, están prohibidos.  La razón de esto es que es geométricamente imposible colocar pentágonos uno junto a otro sin dejar huecos como ilustra la figura 3.   Si bien no hay ninguna ley que prohíba que objetos aislados como moléculas o viruses tengan la simetría del pentágono,  ésta es incompatible con la periodicidad de los cristales.  Lo anterior establece uno de los más antiguos y sólidos teoremas de la cristalografía moderna:  ningún objeto periódico puede tener uno a mas ejes de simetría quinarios.

 

 

LOS CUASICRISTALES

 

En 1984 los cristalógrafos, físicos del estado sólido y científicos en general, vieron como el universo de sus creencias más sagradas se colapsaba cuando investigadores del National Bureau of Standards de los EEUU hicieron público (1) el descubrimiento de un nuevo material cuyas propiedades parecían invalidar el teorema arriba citado.  El nuevo material que consistía en una aleación de aluminio y manganeso enfriado muy rápidamente (millones de grados por segundo) poseía orden a largo alcance como los cristales ordinarios y sin embargo contaba también con varios ejes de simetría quinaria.  De hecho, el nuevo tipo de material, que fue rápidamente bautizado como cuasicristal, tenía los mismos elementos de simetría rotacional que el icosaedro (mostrado en la figura 4) y que son 6 ejes quinarios que lo atraviesan pasando por el centro y seis pares opuestos de sus 12 vértices, 10 ejes ternarios que pasan por el centro de sus 20 caras triangulares y 15 ejes binarios que atraviesan los centros de sus 30 aristas.  En razón de su simetría, la nueva fase fue llamada fase icosaedral o fase I. 

 

La primera reacción del mundo científico, como ocurre casi siempre ante un nuevo descubrimiento, fue de incredulidad.  El mismo Dan Schechtman, que fue el científico israelita que lo descubrió, tuvo que invertir dos años en convencer a sus colegas del National Bureau of Standards de la autenticidad de sus resultados.   Aunque numerosos grupos dispersados en todo el mundo sistemáticamente reproducían este material con todo y sus inquietantes propiedades estructurales, no todos los científicos estuvieron dispuestos a aceptar que había una gran laguna en nuestro entendimiento de la materia.  Así, rápidamente se generaron dos bandos formados por aquellos que creían que los cuasicristales no eran más que un artefacto experimental y los que pensaban que había sido descubierta una nueva forma de agregación de la materia.   Aunque la batalla fue fiera, especialmente porque los escépticos contaban con el apoyo del prestigiado cristalógrafo premio Nóbel británico Linus Pauling, a la postre resultó que el segundo grupo tenía la razón.  El mundo se hallaba ante una nueva forma de agregación de la materia que obligó a la comunidad científica a retroceder sobre sus propios pasos, revisar conceptos que tenía por seguros, y desarrollar nuevas herramientas matemáticas que le permitieran describir el nuevo hallazgo. 

 

Un año más tarde, otro científico israelita, Leonid Benderski, descubrió (2) en la misma  aleación de Al y Mn, solo que con una concentración de Mn ligeramente superior y a velocidades de enfriamiento ligeramente menores una segunda fase cuasicristalina conteniendo también ejes de simetría rotacional quinarios y orden traslacional a largo alcance.  A diferencia de su predecesora, esta nueva fase de la aleación poseía la simetría de un prisma decagonal por lo que fue acordemente bautizada como fase decagonal o fase D.  Esta fase además resultó ser periódica (como un cristal) a lo largo de una dimensión (el eje de simetría 10 del decágono). 

 

Pocos años más tarde, otras fases cuasicristalinas con las simetrías también prohibidas ocho y doce fueron reportadas.

 

 

PERIODICIDAD VS CUASIPERIODICIDAD

 

La paradoja de la existencia  simultánea de orden traslacional y simetría quinaria puede resolverse si se impone una condición de orden traslacional más débil que el orden estrictamente repetitivo o periódico de los cristales (El lector puede consultar la referencia 3 para mayor información).  Después de todo una estructura con orden a largo alcance es aquella que se construye a partir de una ley matemática cualquiera no aleatoria, la condición de periodicidad no es estrictamente necesaria.   Existía ya desde 1974 un ejemplo en 2 dimensiones de una estructura formada por rombos de dos tamaños que poseía orden traslacional a largo alcance y ejes de rotación quinarios, mostrada en la figura 5 conocida como el embaldosado o patrón de Penrose en honor del matemático británico que la descubrió.   El tipo de orden traslacional presente en ella se conoce como orden cuasiperiódico, inicialmente sugerido por Leonardo Fibonacci en la edad media al describir la reproducción idealizada de una colonia de conejos.  Dado que es difícil ver en el patrón de Penrose en que consiste el orden cuasiperiódico, reconstruiremos la secuencia cuasiperiódica de conejos de Fibonnacci con ayuda de la figura 6. 

 

Fibonacci supuso que al final de cada año, cada conejo adulto en la colonia habría producido un bebé conejo y que cada bebé conejo se habría convertido en un adulto,  suponiendo además por simplicidad, que los conejos eran inmortales.  Así, empezando con un adulto, encontró que al paso de un año el adulto se había mantenido y producido un bebé por lo que habían un adulto y un bebé.  Al cabo de dos años, el adulto había producido otro bebé y el bebé había crecido, dejando dos adultos y un bebé.  Al tercer año cada adulto había producido un nuevo bebé  y el bebé había crecido.   Continuando este proceso como en la figura 6 donde cada año está representado por un renglón, reemplazando de un renglón a otro todos los adultos por un adulto y un bebé y a todos los bebés por un adulto, se genera la conocida sucesión de Fibonacci ABAABABAABAABABAABABA ... donde las Aes representan adultos y las Bes bebés.  En un cuasicristal, las Aes y las Bes representan celdas unitarias de diferentes tamaños.

 

La característica más importante del patrón de Penrose es que los resultados de experimentos de difracción óptica realizados con él coinciden cualitativamente con los de microscopía electrónica hechos en cuasicristales reales, aunque no en detalle, evidenciando que ambos poseen el mismo tipo de orden.   El orden traslacional de largo alcance en un patrón de Penrose deriva de la existencia de un conjunto estricto de reglas que deben seguirse al añadir nuevas piezas (rombos) al patrón (una ley matemática) que fuerzan el orden cuasiperiódico.  El orden orientacional, también producto de esta ley, se hace evidente notando que los las aristas de los rombos que la componen son paralelas a direcciones relacionadas por una rotación de 360/5 grados.  Tras el descubrimiento de los cuasicristales, los patrones de Penrose fueron rápidamente generalizados a tres dimensiones, reemplazando los rombos son reemplazados por romboedros de dos diferentes tamaños.   

 

 

LOS MODELOS DE TESELAS O ¿DONDE ESTAN LOS ATOMOS?

 

Dado que el embaldosado de Penrose era capaz de reproducir cualitativamente el tipo de orden encontrado en los cuasicristales, el problema pareció reducirse a encontrar la decoración atómica adecuada para los romboedros, igual que en el caso de los cristales convencionales en los que una vez que uno conoce la decoración de la celda unitaria, el problema está resuelto.  No tan sencillo! 

 

Existen serias objeciones al patrón de Penrose como un buen modelo atómico.  La más seria es que las reglas de unión que deben seguir los rombos en dos dimensiones y los romboedros en tres son excesivamente restrictivas en el sentido de que si se comete un error la posición de un romboedro en un momento dado, varios pasos después uno se encuentra con que ya no es posible seguir creciendo el embaldosado manteniendo el orden cuasiperiódico.  El problema que esto plantea como modelo atómico es que los átomos, al ir formando el cuasicristal, deben ser capaces de predecir el futuro y acomodarse en posiciones que más tarde no estorben a otros átomos que aún están por agregarse a la estructura. 

 

Para empeorar las cosas, al irse descubriendo nuevas aleaciones cuasicristalinas, comenzó acumularse evidencia que indicaba que con algunas excepciones, todos estas presentan algún grado de desorden, evidente en experimentos de difracción de rayos X, cosa que no es posible en un modelo cuasicristalino perfecto como el de Penrose.    Esto motivó que se propusiera un nuevo modelo de cuasicristal que imponía reglas de unión más débiles entre romboedros.   Bajo este nuevo modelo es posible esperar errores en el orden estrictamente cuasiperiódico de los cuasicristales, lo que da origen a la aparición de pequeñas regiones cristalinas donde los rombos se yuxtaponen como las celdas unitarias de un cristal.  Estas regiones cristalinas se encuentran coloreadas en el patrón imperfecto de Penrose que se muestra en la figura 7.  A este nuevo modelo se le denominó modelo de cuasicristal aleatorio a diferencia del modelo de cuasicristal perfecto basado en el patrón de Penrose. 

 

Es conveniente aquí agrupar ambos modelos bajo el rubro de modelos de teselas pues ambos constituyen dos formas diferentes de teselación o embaldosado del espacio, basados en principios mas bien geométricos para diferenciarlos del modelo DR (4,5) descrito más adelante que utiliza un enfoque más físico para atacar el problema.  Existe aún una acalorada pugna entre los defensores de estos dos escenarios como modelo de cuasicristal.  Desgraciadamente no es sencillo decidir cual de los dos es correcto pues hay ejemplos que prueban y desprueban ambos modelos, aunque el modelo DR proporciona evidencia en favor del modelo de cuasicristal aleatorio. 

 

A diferencia de los cristales convencionales en los que las posiciones atómicas se determinan mediante difracción de rayos x, en los cuasicristales esto no es posible.  La razón es que mientras en un cristal las celdas unitarias estás decoradas idénticamente y sólo hay una manera de acomodarlas (una junto a la otra), en un patrón de Penrose existen un número infinito de diferentes maneras no equivalentes de arreglar los romboedros.  Por lo tanto, la determinación de las posiciones atómicas requiere dar respuesta a dos preguntas: ¿Como están arreglados los romboedros? y ¿Como se disponen los átomos en estos? o dicho de otra manera, ¿Cómo están decorados?    La difracción de rayos x no separa la información del arreglo de los romboedros y su decoración por lo que la determinación experimental directa de las posiciones atómicas no es posible.  Ni siquiera estamos seguros que la decoración de los romboedros sea idéntica.  Aunque se han desarrollado sofisticadas técnicas basadas en el análisis de la información de difracción de neutrones en espacios de 6 dimensiones, éstas son inconfiables pues están plagadas de errores y normalmente presuponen un arreglo específico de los romboedros, es decir, proporcionan una respuesta anticipada al problema que quieren resolver. 

 

Por esta razón, casi todo el trabajo teórico encaminado a determinar las posiciones que ocupan los átomos en el cuasicristal, ha involucrado procesos de simulación que consisten en la generación de un modelo atómico que el investigador construye ad-hoc, decorando con átomos algún arreglo específico de romboedros escogido "convenientemente", normalmente el más sencillo.  Después se hacen cálculos sobre las diversas propiedades que tendría el modelo como si existiera realmente y se compara con resultados experimentales. 

 

Como resultado,  la literatura científica está infestada de diferentes modelos atómicos que intentan reproducir la estructura atómica de aleaciones particulares generadas en condiciones específicas.  En la mayoría de los casos, la insistencia en decorar estructuras afines al patrón de Penrose, generando estructuras que si bien simulan las propiedades de orden de los cuasicristales, son poco realistas en el sentido de que si se les aplicaran las fuerzas de atracción y repulsión entre átomos que existirían en si el modelo fuese real, éstos se colapsarían.

 

Toda esta confusión se debe a que tanto el modelo de cuasicristal perfecto como el aleatorio, son en el fondo productos de la geometría más que de la física, en ellos se habla de embaldosados y romboedros, pero no de fuerzas interatómicas.   En las siguientes secciones, se expone un modelo enteramente físico que explica el fenómeno de los cuasicristales a partir de leyes fundamentales, siendo el único capaz de describir las posiciones atómicas de todas las especies cuasicristalinas conocidas y de predecir la existencia de otras aún no descubiertas.  Este modelo, conocido como modelo DR (decaedral-recursivo) constituye la aportación del autor al campo de los cuasicristales.  El modelo concentra su atención en las fuerzas que existen entre los átomos de cualquier material y describe como estas generan las diversas formas de agregación de la materia, ya sean cristales, cuasicristales o amorfos.  Por esto, para entender la estructura atómica de los cuasicristales revisaremos el mecanismo de formación de los sólidos que propone el modelo DR y veremos cuales son las estructuras posibles y bajo que condiciones se forman los cristal,  cuasicristales o  amorfos.

 

 

LA FORMACION DE LOS SOLIDOS Y LOS NUMERO MAGICOS

 

Los materiales sólidos se forman normalmente a partir de su estado líquido.  A diferencia de los sólidos, en los que los átomos o moléculas ocupan posiciones fijas en el espacio, en los líquidos éstos son libres de vagar por todo el volumen causando que los líquidos no posean ninguna medida de orden a largo alcance. 

 

La velocidad con que se lleva un liquido al estado sólido y la composición química de éste (cuantas y cuales especies atómicas la componen), determinan en ultima instancia la estructura atómica del material.  Cuando un material en estado líquido se enfría lentamente, en el seno de éste comienzan a formarse pequeños corpúsculos o embriones atómicos donde los átomos ya guardan posiciones relativas fijas como en el sólido y en los que existe una mayor medida de orden y simetría.  A medida que la temperatura disminuye, más y más átomos del líquido se agregan a ellos haciéndolos crecer hasta que el líquido que los rodea se ha consumido del todo y el material se encuentra totalmente en estado sólido. 

 

Cuando el líquido se enfría muy rápidamente, los átomos en no tienen tiempo de adoptar sus  posiciones  de equilibrio en la nueva temperatura y por ende la  estructura del sólido guarda cierta semblanza al liquido que le dio origen.  Dado que los átomos en el líquido se encuentran desordenados, también lo estarán en el solido y  habremos formado un amorfo o vidrio.  Es muy importante mencionar que para que una material solidifique como amorfo son indispensables al menos dos especies atómicas con átomos de diferente tamaño, esta restricción también es válida para los cuasicristales como veremos mas adelante.  Este hecho está sin duda relacionado con el que se requieran al menos dos celdas unitarias de diferente tamaño para generar una estructura cuasiperiódica como la de Penrose. 

 

La hipótesis fundamental del modelo DR es que los embriones sobre los cuales crece el estado sólido tienen la estructura de los llamados números mágicos que son pequeños conglomerados atómicos de 4, 7, 13, 19, 23 y 26 átomos que por su alta simetría resultan ser energéticamente mas favorecidas que otras y que por lo tanto deben existir mayoritariamente en un líquido cerca del punto de  fusión. La figura 4 muestra los números mágicos más significativos entre 4 y 19 átomos. 

 

La partícula de cuatro átomos (tetrámero) es en cierto sentido la más importante de todas.  Es la partícula más pequeña que forma una figura con volumen.  Los átomos están colocados en las aristas de un tetraedro que es la forma de los envases de algunos productos lácteos y la densidad de empaquetamiento (la eficiencia con la que llenan el espacio) es máxima.  Además, es la configuración más grande en la que todos los átomos están en contacto entre si.   Estas propiedades la hacen una partícula muy estable y como se verá, un componente estructural de otras partículas.   De hecho,  la rigidez del tetraedro ha sido ampliamente utilizada en la construcción de geodésicas y otras estructuras de gran tamaño y resistencia. 

 

La partícula de 7 átomos o decaedro está formada de cinco tetraedros irregulares idénticos y tiene un eje de simetría quinario.  El número mágico de 13 átomos o icosaedro es un caso especial porque además de poseer la simetría de la fase I, es la figura regular con mayor simetría después de la esfera.  Como ya vimos, tiene doce ejes de rotación con simetría cinco, veinte ejes de simetría tres y treinta ejes de simetría dos.   La simetría del icosaedro lo convierte en el sólido con menor razón superficie‑volumen y por tanto el que tiene  menor energía superficial. 

 

Existe un pero sin embargo en la estructura del icosaedro.  En su afán de maximizar la simetría, los átomos superficiales se colocan a la misma unos de otros, el problema es que esta distancia es mayor que la que correspondería a un mínimo en la energía.  Este  "exceso" de separación entre átomos vecinos es conocido como frustración y causa que la energía de la partícula no sea tan pequeña como pudiera desear.  Cuando  las partículas no son muy grandes, la ganancia energética resultante de minimizar la superficie compensa  de sobra el efecto de la frustración,  y las partículas adoptan el mayor grado posible de simetría produciendo los ejes de rotación quinarios observados en los cuasicristales.  Sin embargo,  a medida que las partículas crecen, el termino de  superficie  se  hace menos importante y el exceso de energía debido a la frustración distribuida a lo  largo  de estas se vuelve paulatinamente intolerable de tal manera que el sólido normalmente cambia su simetría por otras sin frustración como las de los cristales.

 

La partícula de 19 átomos,  es significativa por dos razones:  Es la mas pequeña que tiene dos átomos internos, y porque sus patrones de difracción tienen la misma simetría de la fase D. 

 

Un punto fundamental es que existe un patrón común en la estructura de todos los números mágicos.  Todos ellos consisten de tetraedros (primer número mágico con 4 átomos) irregulares, excepto el primero que es él mismo un tetraedro regular.  Estos tetraedros se arreglan formando decaedros (segundo número mágico de 7 átomos) irregulares compartiendo vértices.  Así por ejemplo en la figura 4, podemos ver que el icosaedro de 13  átomos  consiste de varios decaedros interpenetrados, uno de ellos coloreado, y que la partícula de 19 átomos esta constituida por tres decaedros alineados, dos de los cuales están coloreados.  El punto importante es que cada vez que al añadirse átomos a una partícula en crecimiento, se completa un nuevo decaedro, la energía por átomo de la partícula disminuye.

 

Basándose en esta observación, el modelo DR supone que el crecimiento de un sólido ocurre a partir de un embrión mediante la agregación de átomos del líquido de tal manera que en todas las etapas de crecimiento, su estructura consiste de decaedros irregulares interpenetrados.  El embrión o semilla es un número mágico que con seguridad existe en el seno del líquido al enfriarse.

 

Sorprendentemente, cuando este proceso que llamaremos crecimiento decaedral se simula en la computadora, resulta que la simetría original de la semilla se preserva , de tal manera que resulta plausible que para reproducir la estructura de fase cuasicristalinas icosaedral y decagonal uno comience el proceso con los números mágicos 13 y 19 que poseen dichas simetrías respectivamente.  Desde luego, en el caso real ambos números mágicos estarán presentes en el líquido, de tal manera que ambas fases tenderán a crecer simultáneamente (como se observa experimentalmente) excepto en los casos en los que dependiendo de factores como velocidad de enfriamiento y composición química, una resulte ser más favorecida que otra. 

 

 

CRECIMIENTO DECAEDRAL.

 

El crecimiento decaedral se simula de la siguiente manera:  cada par de primeros vecinos en la superficie de la semilla escogida es considerado como el eje de simetría quinario (eje 5) de un decaedro que aún no se completa.  Así, en la figura 8 que ejemplifica el crecimiento decaedral de la fase icosaedral, tenemos primeramente el icosaedro que funciona como semilla.  En el inciso b se han marcado con diferente color el par de vecinos en la superficie que serán considerados como un eje de simetría quinaria de un decaedro incompleto.  En c se muestran en diferente color los átomos que han sido añadidos para completar el decaedro.  Note que el par de átomos escogidos como eje quinario en b tienen ahora 5 átomos alrededor: los cuatro que se ven en la figura más el del centro que está oculto, de tal manera que al añadir estos dos átomos hemos completado un decaedro que comparte sus átomos con otros.  El inciso d muestra la partícula con sus nuevos átomos en diferente color después que todos los ejes quinarios han sido completados.  En e se muestra la siguiente capa de átomos después de completar los decaedros en d. 

 

La frustración atómica (el exceso de separación entre átomos) se va haciendo paulatinamente mayor en cada etapa.  De hecho, llega un momento en que su valor es tal que es imposible añadir nuevos átomos a la estructura mediante este mecanismo.  El problema es simplemente que los átomos ya no caben.   El  crecimiento,  sin embargo puede continuarse si el tamaño de los nuevos átomos se reduce alrededor de 5%.  La figura 8f muestra en rojo el conjunto de átomos más pequeños añadidos a la estructura al alcanzar el valor crítico de frustración.  Es importante notar que la diferencia en tamaño de los átomos de las diferentes especies que ocurren en los cuasicristales reales es también 5%. 

 

Más adelante veremos que las estructuras producidas de esta manera son en realidad cuasicristales.  Por lo tanto, el resultado anterior indica que por efecto de la frustración presente en estructuras con simetría quinaria, sólo pueden obtenerse cuasicristales en aleaciones con al menos dos especies atómicas cuyos tamaños atómicos difieren por aproximadamente 5%.  Este resultado contrasta con el hecho de que sólo pueden construirse estructuras cuasiperiódicas con dos o mas celdas unitarias.

 

Una vez  que los átomos pequeños han sido añadidos,  el agregado puede crecer otra vez mediante la adición de átomos grandes, es decir, los átomos más pequeños han "curado" la frustración a modo de tapaporo.  En estructuras mayores las concentraciones de átomos pequeños o impurezas resultan ser de aproximadamente 18%, valor que coincide con las reportadas experimentalmente.  Aunque es posible variar la concentración entre 12% y 20% variando el número de impurezas, es completamente imposible crecer una estructura cuasicristalina con una sola especie atómica.  La existencia de átomos de al menos dos tamaños es indispensable para aliviar la creciente frustración.

 

Cabe destacar que el agregado generado de esta manera coincide  en sus  primeras capas con algunas estructuras que han sido exitosamente usadas para modelar algunas propiedades de metales amorfos.  Esto es  importante  pues  indica  que en los metales amorfos enfriados a gran velocidad, hay suficiente tiempo para que ocurra algo de crecimiento decaedral generando pequeñas regiones ordenadas con estructura semejante a la de los cuasicristales, recordemos que los metales amorfos también requieren mas de una especie atómica para formarse. 

 

Uno de los factores que hacen único al modelo DR, es su generalidad, exactamente las mismas leyes producen las fases I y D.  Así, cuando el procedimiento descrito arriba se aplica al número mágico de 19 átomos resulta una estructura con las propiedades de la fase decagonal.  La figura 9 muestra el conglomerado resultante en dos orientaciones  diferentes, una a lo largo del eje quinario y otra en la dirección perpendicular donde puede notarse la periodicidad de la estructura a lo largo del eje quinario.  Debido a que en esta fase la frustración aumenta tan sólo en la dirección radial, (haciendo necesaria la introducción de átomos pequeños) tiende a crecer más rápidamente en la dirección del eje quinario, tal como se observa en la realidad. 

 

Al igual que en el caso de la fase icosaedral,  la nueva estructura es capaz de explicar todos los enigmas y reproducir todos los resultados experimentales de la fase D, además ambas fases resultan ser estables cuando sus átomos se hacen interaccionar a través de fuerzas interatómicas.  Lo más importante, sin embargo es que usando tan solo conceptos muy básicos como el de minimización de energía y asumiendo una sencilla  forma de interacción entre átomos,  el modelo DR logra explicar los comos y porqués de las diferentes formas de organización de la materia.  El modelo representa el contraste entre dos ideas muy simples: una geométrica propia de los modelos de teselas (dos celdas unitarias) y otra física (minimización de la energía). 

 

 

FUERZAS DE CORTO ALCANCE GENERAN ORDEN DE LARGO ALCANCE.

 

A pesar de su escaso contenido físico, los modelos de tesela son importantes pues proporcionan una infraestructura geométrica que permite describir convenientemente cristales y cuasicristales.  Es de esperar que el modelo DR al ser mas físico, proporcione evidencia que permita elucidar cual de los dos es correcto.

 

Debemos pues construir una teselación del espacio con las estructuras atómicas que hemos generado bajo el mismo principio de minimización de la energía.  Para esto usaremos como ejemplo la estructura de la fase decagonal, pues al ser periódica en la dirección del eje quinario, basta con describirla en la dirección radial, la fase icosaedral sigue los mismos principios en 3 dimensiones.  Existen diferentes aleaciones de esta fase que poseen propiedades diversas, entre ellas, la propiedad de tener diferentes períodos.  Todas estas propiedades son explicables bajo el esquema decaedral, pero para ahorrar espacio, describiremos aquí la más simple fase de Al-Cu-Co-Si con un período de 4 Angstroms.  Esta fase consta de 4 planos atómicos separados una distancia de 1 Angstrom.

 

Hemos dicho que los cristales poseen orden traslacional y rotacional a grandes distancias. Un cristal natural puede de hecho medir varios centímetros.  ¿Se ha preguntado como es posible que las fuerzas interatómicas cuyo alcance no es mayor que unos cuantos angstroms (100 millones de veces menor) sea capaz de inducir orden tan lejos?.  La respuesta está en que en todos los materiales existen pequeñas configuraciones atómicas que son particularmente eficientes en términos de energía y por tanto se repiten continuamente.  En un cristal, estas configuraciones forman las celdas unitarias.  El papel primario de las fuerzas interatómicas es forzar la aparición de estas configuraciones, cosa que requiere muy corto alcance.  Una vez que estas configuraciones se han formado, tienden a aparearse a manera de minimizar la energía del sistema.  En un cristal las celdas unitarias lo hacen colocándose unas junto a otras compartiendo los átomos de las caras que tienen en común.  El secreto está en precisamente en esta forma de promiscuidad.  Dicho más precisamente, dos conglomerados atómicos coalescen para formar una estructura de mínima energía cuando son capaces de compartir átomos, mientras más átomos compartan, menor la energía.  Esto se conoce como el modelo de coincidencia por razones tan obvias que nunca antes había sido aplicado al problema del crecimiento de cristales. 

 

Este fenómeno también se presenta en los cuasicristales, sólo que no de una manera tan obvia.  A las estructuras de mínima energía que se repiten en los cuasicristales les denominaremos conglomerados básicos o cuasiceldas unitarias pues juegan un papel estrictamente equivalente a las celdas unitarias de los cristales.  La figura 10 muestra los 4 planos etiquetados A, B, Ai, Bi del conglomerado básico de la fase decagonal de 4 angstroms de período.  En virtud de su periodicidad, describiremos tan sólo el comportamiento en la dirección radial; para reproducir la estructura a lo largo del eje quinario, bastará hacer el apilamiento ...-A-B-AI-Bi-A-B-Ai-Bi-... 

 

A diferencia de las celdas unitarias de los cristales que se colocan unas junto a otras, las cuasiceldas unitarias comparten sus átomos interpenetrándose, tal como se esquematiza en la figura 11.  La figura 12 ilustra en su parte superior el detalle de la coincidencia atómica de los planos AI y BI de 3 cuasiceldas, mientras que la parte inferior muestra la coincidencia de los átomos en los 4 planos de la cuasicelda En ambas figuras, los átomos de los planos AI y Bi se muestran en colores diferentes. 

 

La mayor simetría de las cuasiceldas unitarias comparadas con sus contrapartes cristalinas y el hecho de que puedan interpenetrarse, hace que puedan coalescer de diferentes maneras.  Por ejemplo, en la parte superior de la figura, la cuasicelda abajo a la derecha podría haberse puesto más próxima a la cuasicelda que está abajo a la izquierda que a la de arriba.   El hecho de que existan varias opciones de acomodo proporciona "grados de libertad" elegantemente llamados modos fasónicos, que no se encuentran en los cristales, donde las celdas unitarias no se interpenetran y sólo pueden acomodarse de una manera (arriba y abajo, izquierda y derecha, delante y atrás).

 

La existencia de grados fasónicos hace posibles estructuras con muy diferentes simetrías con la misma cuasicelda.  La figura 13 por ejemplo muestra una de las configuraciones posibles de la fase D.  Aquí por claridad sólo se muestra el plano Bi.  Note que los centros de las cuasiceldas han sido unidos con líneas azules para resaltar la teselación que ha sido reportada experimentalmente en esta fase.  Esta teselación, que corresponde a un cuasicristal perfecto (sin regiones cristalinas) no es única, en rojo se muestra la teselación alternativa de rombos del patrón de Penrose. 

 

El hecho de que las estructuras matemáticas  cuasiperiódicas como el patrón de Penrose requieran dos celdas unitarias, ha desviado la atención de los científicos en buscar dos celdas unitarias también para los cuasicristales, sin embargo, como se acaba de demostrar, basta sólo una celda unitaria para reproducir las propiedades cuasiperiódicas de los cuasicristales, las dos celdas o teselas del patrón de penrose aparecen como consecuencia natural del hecho que la celda unitaria puede traslaparse. 

 

En la figura 14 se muestran es sus partes izquierda y derecha, otras dos teselaciones posibles con la misma cuasicelda.  A diferencia de la de la figura 13, éstas son teselaciones cristalinas que contienen patrones repetitivos, y en ningún caso corresponden a un cuasicristal sino a lo que los cristalógrafos llaman un aproximante racional y que no es más que un cristal cuya estructura aproxima en pequeñas regiones la de un cuasicristal.  Ambas configuraciones (figuras 13 y 14) han sido observadas experimentalmente y el que una se prefiera sobre otra depende de la composición química de la aleación y las condiciones de crecimiento.  En general, el modelo DR indica que en un cuasicristal real existe una mezcla de regiones cristalinas y cuasicristalinas como en la figura 7, lo que esta de acuerdo con el modelo de cuasicristal aleatorio, a medida que la temperatura aumenta, sin embargo, la mayor movilidad atómica hace que las regiones cristalinas tiendan a desordenarse y desaparecer, dejando una estructura cuasiperiódica perfecta como la de la figura 13, dando orígen a la  llamada transición cristal'cuasicristal.  Esta transición sin embargo, no ocurre en aleaciones donde el  movimiento atómico a alta temperatura es difícil. 

 

LOS NUEVOS COMPUESTOS DE CARBONO.

 

Al igual que en la fase decagonal recién descrita, existen también cuasiceldas unitarias en las fases icosaedral, octagonal y dodecagonal.  Por motivos de espacio no las describiremos aquí, baste decir que el principio es el mismo que la fase decagonal, sólo que más complicado pues las cuasiceldas unitarias pueden unirse escogiendo direcciones en 3 dimensiones.  Hablaremos sin embargo de otro nuevo material que por su abundancia y posibles aplicaciones tecnológicas ha acaparado la atención del medio científico en los últimos años. 

 

Recientemente han sido descubiertas nuevas formas de agregación del carbono que han causado gran excitación entre los científicos de todas las ramas y que prometen cambiar sustancialmente nuestra visión de la física, química y ciencia de materiales de este elemento.  Una de sus formas de agregación recién descubierta se conoce como fullerina, de la cual se conocen apenas algunas propiedades.  La fullerina está compuesta de moléculas huecas de carbono conocidas como C60 que se aglomeran unas juanto a otras sin tocarse, tal como se muestra en la figura 15.  A diferencia del grafito común, la fullerina es un pobre conductor de la electricidad, a menos que se dope con algún metal alcalino alojado en el interior de las moléculas.  Cuando esto sucede, se convierte en superconductor a temperatura dos órdenes de magnitud superiores a la de aquel. 

 

Otra forma de agregación del carbono que se ha propuesto teóricamente pero que aún no ha sido descubierta es conocida como schwartzita en la que las moléculas de C60 se tocan.  Utilizando los principios del modelo DR, es posible predecir schwartzitas como la que se muestra en la figura 16. De acuerdo con el modelo DR (6), cuando las moléculas de C60 se unen, de tal manera que algunos de sus átomos coincidan, se pueden predecir estructuras energéticamente estables que van desde schwartzitas con estructura semejante a los cuasicristales como la que se muestra en la figura 16, hasta las schwartzitas cristalinas ya propuestas por otros investigadores basdos en argumentos geométricos.

 

Aunque aún es muy pronto para hablar de las posibles aplicaciones de estos materiales, se piensa que las schwartzitas deben poseer propiedades mecánicas muy deseables, como una gran resistencia a la deformación plástica combinada con un alto grado de elasticidad y ligereza.

 

 

MAS ESTRUCTURAS POR DESCUBRIR ? 

 

Existen otros números mágicos más allá de la partícula de 19 átomos.  La aplicación del método aquí descrito genera nuevas estructuras metálicas que aún no han sido descubiertas.  Podría ser desde luego que no existieran, pero el método ha sido tan prolífico en explicar el crecimiento y propiedades de tantos y tan diferentes sistemas, que resulta difícil de creer.  El tiempo dirá. 

 

 

REFERENCIAS

 

 

1.-       D. S. Schechtman, I. Blech, D. Gratias and J. W. Cahn.   Phys. Rev. Lett. 53,            (1984), 1981.

 

2.-       L. Bendersky.   Phys. Rev. Lett. 55, (1985), 1461.

 

3.-       P. J. Steinhardt, S. Ostlund, The Physics of quasicrystals, World Scientific,     (Singapore, 1987).

 

4.-        D. Romeu con otros autores.  Phys. Rev. B44, (1991), 584; J. of Non Cryst. Solids.  153-154, (1993), 237;

 

5.-        D. Romeu.   Phil. Mag B. 7, (1993), 77; J. of Non Cryst. Solids. 153-154, (1993), 232; Phil. Mag B. 7, (1993), 77; Acta Met. 18, (1990), 113, Int. J. Mod. Phys. B2, (1988). 77.

 

6.-       J. L. Aragón, H. Terrones and D. Romeu. Phys Rev B. 48, (1993), 8409.

 

 

PIES DE FIGURA

 

 

Figura 1.          Estructuras cristalinas hipotéticas. Arriba: simetría rotacional binaria. Abajo: simetría rotacional cuaternaria.  A la derecha de las estructuras se muestran las correspondientes celdas unitarias y los vectores base de la red.

 

Figura 2.          Porción de un material amorfo. Note que no existe patrón repetitivo alguno en las posiciones atómicas.

 

Figura 3.          Representación en dos dimensiones de diversas simetrías de rotación.  El rectángulo tiene simetría rotacional binaria (2), el triángulo ternaria (3) el cuadrado cuaternaria (4) el pentágono quinaria (5) y el hexágono senaria (6).  Note que todos los polígonos ejemplificados son capaces de formar patrones repetitivos que cubren el espacio sin dejar huecos con excepción del pentágono. 

 

Figura 4.          Número mágicos principales.  De arriba abajo: el tetraedro de 4 átomos, el decaedro o pirámide pentagonal de 7 átomos, el icosaedro de 13 átomos, la partícula de  19 átomos o doble bipirámide pentagonal.  Note que el icosaedro y partícula de 19 átomos están formados por decaedros interpenetrados. 

 

Figura 5.          Patrón cuasiperiódico de Penrose formado por rombos de dos tamaños coloreados según su orientación. 

 

Figura 6.          Modelo de reproducción de conejos de Fibonacci. Cada renglón representa un año en la vida de los conejos.  Cada año un conejo adulto genera una cría y una cría se vuelve conejo adulto.  Al cabo de unos años se obtiene la secuencia cuasiperiódica ACAACACAACAACACAACACA... donde la Aes representan adultos y las Ces crías. 

 

Figura 7.          Patrón de Penrose con defectos correspondientes a pequeñas regiones (coloreadas) donde los rombos se repiten formando pequeñas porciones cristalinas.

 

Figura 8.          Secuencia que ejemplifica el modelo de crecimiento decaedral de la fase icosaedral (ver texto).  Partiendo de una semilla icosaedral, nuevos átomos (en diferente color) se incorporan a la estructura en cada iteración.  La creciente frustración atómica impide el crecimiento prolongado a menos que átomos más pequeños (en rojo) se añadan en puntos críticos del crecimiento aliviando reduciendo la frustración del conglomerado a su valor inicial. 

 

Figura 9.          Conglomerado atómico resultante de aplicar el crecimiento decaedral a la al número mágico de 19 átomos.  La estructura se muestra a lo largo del eje quinario (arriba) y en la dirección perpendicular (abajo).

 

Figura 10.        Los cuatro planos atómicos que componen el conglomerado básico o cuasicelda unitaria de la fase decagonal.  En el centro se esquematiza como se apilan los planos formando una estructura periódica en la dirección del eje quinario. 

 

Figura 11.        Representación esquemática de la interpenetración de  las cuasiceldas al formar un cuasicristal.  Las líneas uniendo los centros de las cuasiceldas representan las aristas correspondientes en un modelo de teselas. 

 

Figura 12.        Arriba: Ilustración de los planos Ai y Bi de la cuasicelda unitaria en la fase decagonal.  Note que todas las cuasiceldas comparten átomos.  Abajo: Ilustración de la interpenetración de la cuasicelda completa.

 

Figura 13.        El plano Bi (ver texto) de una estructura decagonal cuasiperiódica.  Los centros de las cuasiceldas han sido unidos para ilustrar diferentes modelos de teselas usados en esta fase.  En azul, las teselas observadas experimentalmente, en rojo, el patrón de Penrose.

 

Figura 14.        Ejemplo de dos estructuras cristalinas observadas experimentalmente construidas a partir de la misma cuasicelda unitaria de la figura 13.  La obtención de una estructura cristalina o cuasiperiódica depende de la composición química, condiciones de crecimiento y temperatura. 

 

Figura 15.        Izquierda: molécula de C60 con átomos de carbono en los vértices del poliedro conocido como futboleno o buckminsterfullerina.  Derecha: dos moléculas de C60 unidas de acuerdo al modelo DR (ver texto). 

 

Figura 16.        Porción de schwartzita con simetría icosaedral construída a partir del modelo decaedral recursivo (ver texto).